Écritures possibles d'un nombre et reste dans la division euclidienne

Corollaire

Soit $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ . Tout entier $a\in \mathbb{Z}$ s'écrit sous l'une des formes suivantes :

$a=bq\text{ ou }a=bq+1\text{ ou }a=bq+2\text{ ou }...\text{ ou }a=bq+(b-1)$  avec  $q\in \mathbb{Z}$ .

Démonstration

D'après le théorème de la division euclidienne, il existe un couple $(q;r)$ , avec  $q\in \mathbb{Z}$ et  \(0 \leqslant r, tel que  $a=bq+r$ . Comme  $r$  est compris entre  $0$  et  $b-1$ , l'égalité  $a=bq+r$  devient l'une des  $b$ écritures proposées.